Polígons convexos. Definició d'un polígon convex. Les diagonals d'un polígon convex

Aquestes formes geomètriques estan al nostre voltant. polígons convexos són naturals, com una bresca o artificial (fet per l'home). Aquestes xifres s'utilitzen en la producció de diferents tipus de recobriments en l'art, l'arquitectura, ornaments, etc. polígons convexos tenen la propietat que els seus punts es troben en un costat d'una línia recta que passa a través del parell de vèrtexs adjacents de la figura geomètrica. Hi ha altres definicions. Es diu el polígon convex, que està disposat en un sol semiplà respecte a qualsevol línia recta que conté d'un dels seus costats.

polígons convexos

En el curs de la geometria elemental sempre són tractats polígons extremadament simples. Per entendre les propietats de formes geomètriques que necessita per comprendre la seva naturalesa. Per començar a entendre que és tancat qualsevol línia els extrems són els mateixos. I la figura formada per ella, pot tenir una varietat de configuracions. Polygon es diu polilínia tancada simple les unitats adjacents no estan situada en una línia recta. Els seus enllaços i nodes són, respectivament, els costats i la part superior de la figura geomètrica. Una línia poligonal simple no ha de tallar-amb si mateix.

vèrtexs del polígon es diuen els veïns, en cas que són els extrems d'un dels seus costats. Una figura geomètrica, que té un nombre n-èsim de vèrtexs, i per tant el nombre n-èsim dels partits anomenats l'n-gon. Mateixa línia de traços és el límit o contorn de la figura geomètrica. pla poligonal o polígon pla anomenat la part final de qualsevol pla, el seu limitat. costats adjacents de la figura geomètrica anomenats segments de polilínia procedents de la mateixa vèrtex. No seran veïns si es basen en diferents vèrtexs del polígon.

Altres definicions de polígons convexos

En geometria elemental, hi ha diversos equivalent en les definicions de sentit, el que indica el que es diu un polígon convex. A més, totes aquestes afirmacions són igualment veritables. Un polígon convex és la que té:

• cada segment que connecta dos punts qualssevol dins d'ella, es troba completament en ell;

• mentir en ell totes les seves diagonals;

• qualsevol angle interior no és més gran que 180 °.

Polygon sempre divideix el pla en dues parts. Un d'ells - el limitat (es pot tancar en un cercle), i l'altre - il·limitat. El primer es diu la regió interior, i el segon - l'àrea exterior de la figura geomètrica. Aquesta és la intersecció del polígon (en altres paraules - el component total) diversos semiplans. Per tant, cada segment té extrems en els punts que pertanyen a un polígon pertany completament a ell.

Varietats de polígons convexos

Definició polígon convex no indica que hi ha moltes classes d'ells. I cada un d'ells té certs criteris. Per tant, els polígons convexos, que tenen un angle intern de 180 °, que fa lleugerament convex. La figura geomètrica convexa que té tres pics, es diu un triangle, quatre - quadrilàter, cinc - pentàgon, etc. Cadascun dels convexa n-gons compleix amb els següents requisits importants: .. N ha de ser igual o més gran que 3. Cada un dels triangles és convexa. La figura geomètrica d'aquest tipus en el qual tots els vèrtexs estan situats en un cercle, anomenat el cercle inscrit. Descrit polígon convex es diu si tots els seus costats al voltant d'un cercle de tocar-la. Dos polígons es diuen igual només en el cas quan s'utilitza el recobriment es pot combinar. polígon pla anomenat pla poligonal (una porció plana) que aquesta figura geomètrica limitada.

polígon regular convex

polígons regulars anomenats formes geomètriques amb angles iguals i els costats. Dins d'ells hi ha un punt 0, que és la mateixa distància de cada un dels seus vèrtexs. Es diu el centre de la figura geomètrica. Les línies que connecten el centre amb els vèrtexs de la figura geomètrica anomenats apotema, i els que connecten el punt 0 amb les parts - ràdios.

Correcta rectangle - quadrat. triangle equilàter es diu equilàter. Per a tals formes no és la regla següent: cada angle polígon convex és 180 ° * (n-2) / n,

on n - nombre de vèrtexs de la figura geomètrica convexa.

L'àrea de qualsevol polígon regular es determina per la fórmula:

S = P * h,

on p és igual a la meitat de la suma de tots els costats del polígon, i h és l'apotema longitud.

Propietats dels polígons convexos

polígons convexos tenen certes propietats. Per tant, el segment que uneix dos punts qualssevol d'una figura geomètrica, necessàriament situat en ella. la prova:

Suposem que P - polígon convex. Prendre dos punts arbitraris, per exemple, A i B, que pertanyen a P. Per la definició actual d'un polígon convex, aquests punts es troben en un costat de la línia recta que conté qualsevol direcció R. Per tant, AB també té aquesta propietat i està continguda en R. Un polígon convex sempre pot dividir-se en diversos triangles absolutament totes les diagonals, que va celebrar un dels seus vèrtexs.

Els angles formes geomètriques convexes

Els angles d'un polígon convex - són els angles que es formen per les parts. Les cantonades interiors estan a l'àrea interior de la figura geomètrica. L'angle que es forma pels costats que convergeixen en un vèrtex, anomenat l'angle del polígon convex. Cantonades adjacents a les cantonades internes de la figura geomètrica, trucada externa. Cada cantonada d'un polígon convex, disposat en el seu interior, és:

180 ° - x

on x - valor fora de la cantonada. Aquesta senzilla fórmula és aplicable a qualsevol tipus de formes geomètriques tals.

En general, per a les cantonades exteriors existeixen següent regla: cada angle polígon convex igual a la diferència entre 180 ° i el valor de l'angle interior. Pot tenir valors que van des de -180 ° a 180 °. En conseqüència, quan l'angle interior és 120 °, l'aspecte tindrà un valor de 60 °.

La suma dels angles dels polígons convexos

La suma dels angles interiors d'un polígon convex s'estableix per la fórmula:

180 ° * (n-2),

on n - nombre de vèrtexs de la n-gon.

La suma dels angles d'un polígon convex es calcula senzillament. Penseu qualsevol forma geomètrica. Per determinar la suma dels angles d'un polígon convex que hagi de connectar un dels seus vèrtexs a altres vèrtexs. Com a resultat d'aquesta acció es converteix (n-2) del triangle. Se sap que la suma dels angles de qualsevol triangle és sempre 180 °. A causa del seu nombre en qualsevol polígon és igual a (n-2), la suma dels angles interiors de la figura és igual a 180 ° x (n-2).

Suma cantonades polígon convex, és a dir, qualsevol dels dos angles interns i externs adjacents a ells, en aquest figura geomètrica convexa sempre serà igual a 180 °. Sobre aquesta base, podem determinar la suma de tots els seus racons:

180 x n.

La suma dels angles interiors és 180 ° * (n-2). Per tant, la suma de totes les cantonades exteriors de la Figura conjunt per la fórmula:

180 ° * n-180 ° - (N-2) = 360 °.

Suma dels angles externs de qualsevol polígon convex sempre serà igual a 360 ° (independentment del nombre dels seus costats).

de cantonada exterior d'un polígon convex es representen generalment per la diferència entre 180 ° i el valor de l'angle interior.

Altres propietats d'un polígon convex

A més de les propietats bàsiques de les figures geomètriques de dades, sinó que també tenen una altra, que es produeixen quan el maneig d'ells. Per tant, qualsevol dels polígons es podran dividir en múltiples convexa n-gons. Per fer això, continuï a cadascun dels seus costats i tallar la forma geomètrica al llarg d'aquestes línies rectes. Dividir qualsevol polígon en diverses parts convexes és possible i de manera que la part superior de cadascuna de les peces coincideixen amb tots els seus vèrtexs. A partir d'una figura geomètrica pot ser molt senzill de fer triangles a través de totes les diagonals des d'un vèrtex. Per tant, qualsevol polígon, en última instància, pot ser dividit en un cert nombre de triangles, que és molt útil per resoldre diverses tasques relacionades amb aquest tipus de formes geomètriques.

El perímetre del polígon convex

Els segments de la polilínia, polígon parts cridats, sovint indiquen amb les lletres següents: AB, BC, CD, DE, EA. Aquest costat d'una figura geomètrica amb vèrtexs a, b, c, d, e. La suma de les longituds dels costats d'un polígon convex es diu el seu perímetre.

La circumferència del polígon

polígons convexos poden ser introduïts i descrits. Cercle tangent a tots els costats de la figura geomètrica, crida inscrit. Aquest polígon es diu descrit. El cercle central que s'inscriu en el polígon és un punt d'intersecció de les bisectrius dels angles dins d'una forma geomètrica donada. L'àrea del polígon és igual a:

S = p * r,

on r - el radi del cercle inscrit, i p - semiperímetre aquest polígon.

Un cercle que conté els vèrtexs del polígon, anomenat descriu a prop seu. D'altra banda, aquesta figura geomètrica convexa anomenada inscrit. El centre de cercle, que es descriu sobre un polígon d'aquest tipus és un denominat punt d'intersecció midperpendiculars tots els costats.

Diagonal formes geomètriques convexes

Les diagonals d'un polígon convex - un segment que no connecta vèrtexs veïns. Cada un d'ells és l'interior d'aquesta figura geomètrica. El nombre de diagonals de la n-gon s'estableix d'acord amb la fórmula:

N = n (n - 3) / 2.

El nombre de diagonals d'un polígon convex juga un paper important en la geometria elemental. El nombre de triangles (K), que pot trencar cada polígon convex, calculat per la fórmula següent:

K = n - 2.

El nombre de diagonals d'un polígon convex és sempre depenent del nombre de vèrtexs.

Partició d'un polígon convex

En alguns casos, per resoldre tasques geometria necessària per trencar un polígon convex en diversos triangles amb diagonals no entrecreuades. Aquest problema pot ser resolt mitjançant l'eliminació d'una certa fórmula.

Definició del problema: cridar tipus de partició d'un polígon regular convex en diversos triangles diagonals que es creuen solament en els vèrtexs d'una figura geomètrica.

Solució: Suposem que P1, P2, P3, ..., Pn - la part superior de la n-gon. Nombre Xn - el nombre de les particions. Penseu acuradament la diagonal resultant figura geomètrica Pi Pn. En qualsevol de les particions regulars P1 Pn pertany a un triangle particular, P1 Pi Pn, en la qual 1

Sigui i = 2 és un grup de particions regulars, sempre que conté diagonal P2 Pn. El nombre de particions que s'inclouen en ella, igual al nombre de particions (n-1) -gon S2 S3 S4 ... Pn. En altres paraules, és igual a X-1.

Si i = 3, llavors les altres particions grup sempre contenir una diagonal P3 P1 i P3 Pn. El nombre de particions correctes que estan continguts en el grup, coincidirà amb el nombre de particions (n-2) -gon P3, P4 ... Pn. En altres paraules, serà X-2.

Sigui i = 4, llavors els triangles entre la partició correcta està obligat a contenir un triangle P1 Pn P4, que limiten amb el quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... Pn. El nombre de particions correctes tals quadrilàter és igual a X4, i el nombre de particions (n-3) és igual a -gon X-3. Amb base en l'anterior, podem dir que el nombre total de particions regulars que estan continguts en aquest grup és igual a 3 X-X4. Altres grups, en el qual i = 4, 5, 6, 7 ... contindrà 4 X-X5, X-5 X6, X-6 ... X7 particions regulars.

Sigui i = n-2, el nombre de particions correctes en un grup donat coincidirà amb el nombre de particions en el grup, en el qual i = 2 (en altres paraules, és igual a X-1).

Des X1 = X2 = 0, X3 = 1 i X4 = 2, ..., el nombre de particions de polígon convex és:

X = X-1 + xn-2 + X-3, X-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 X-X-X 4 + 3 + 2 X-X-1.

exemple:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 X5 * + X4 X5 * + X6 + X7 = 132

El nombre de particions correctes d'intersecció dins d'una diagonal

Després d'una anàlisi dels casos individuals, es pot suposar que el nombre de diagonals d'convexa n-gon és igual al producte de totes les particions d'aquest patró gràfic (n-3).

La prova d'aquesta hipòtesi: suposem que P1n = X * (n-3), llavors qualsevol n-gon es pot dividir en (n-2) és un triangle. En aquest cas un d'ells es poden apilar (n-3) -chetyrehugolnik. Alhora, cada quadrilàter és diagonal. Des d'aquesta figura geomètrica convexa dues diagonals es poden dur a terme, el que significa que en qualsevol (n-3) -chetyrehugolnikah poden realitzar addicional diagonal (n-3). Sobre aquesta base, es pot concloure que en qualsevol partició adequada té l'oportunitat de (n-3) -diagonali reunió amb els requisits d'aquesta tasca.

Zona de polígons convexos

Sovint, en la solució de diversos problemes de geometria elemental ha la necessitat de determinar l'àrea d'un polígon convex. Suposem que (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n representa una seqüència de coordenades de tots els vèrtexs veïns del polígon, que no té auto-interseccions. En aquest cas, la seva àrea es calcula per la fórmula següent:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (I _{i +} i _i + _1)),

on (X _1, I _{1) = (X 1, I} n + _1).