Els políedres regulars: elements de simetria i l'àrea

La geometria és bella perquè, a diferència d'àlgebra, que no sempre està clar per què i el que pensa, dóna un objecte visual. Aquest meravellós món dels diversos òrgans adornen els políedres regulars.

Informació general sobre els políedres regulars

Segons molts, políedres regulars, o com se'ls anomena sòlids platònics, posseeixen propietats úniques. Amb aquests objectes connectats diverses hipòtesis científiques. Quan es comença a estudiar les dades geomètriques del cos, s'adona que gairebé no se sap res sobre un concepte com els políedres regulars. La presentació d'aquests objectes a l'escola no sempre és interessant, de manera que molts ni tan sols em acord com es deien. En la memòria de la majoria de la gent és simplement una galleda. Cap de la geometria del cos no posseeix la perfecció tal com políedres regulars. Tots els noms d'aquests cossos geomètrics es van originar de l'antiga Grècia. Representen el nombre de cares: el tetraedre - quatre costats, hexaedre - Allen, l'octaedre - octàgon, dodecaedre - dodecaedre, icosaedre - icosaèdrica. Tots aquests geomètrica cos ocupa un lloc important en la concepció de l'univers de Plató. - El foc, l'icosàedre - galleda d'aigua - terra, l'octaedre - aire del tetraedre: quatre d'ells són elements o entitats encarnat. Dodecaedre encarna totes les coses. Va ser considerat el principal, com un símbol de l'univers.

La generalització del concepte d'un poliedre

Poliedre és un conjunt finit de polígons tal que:

• cadascun dels costats de qualsevol dels polígons és al mateix temps un sol costat d'un altre polígon en el mateix costat;
• de cada un dels polígons es pot caminar a l'altra mitjançant el pas adjacent a la mateixa polígons.

Els polígons que constitueixen el poliedre representen les seves cares i els seus laterals - costelles. vèrtexs políedres són els vèrtexs de polígons. Si el terme polígon entendre polilínies tancades planes, després arribar a una definició d'un poliedre. En el cas en què per aquest terme s'entén una part del pla que està delimitada per línies de traços, s'entén la superfície que consisteix en peces poligonals. poliedre convex es diu el cos estirat sobre un costat del pla, adjacent a les seves cares.

Una altra definició d'un poliedre i els seus elements

Poliedre crida superfície que consisteix en polígons, el que limita el cos geomètric. Ells són:

• no convex;
• convexa (bé i malament).

poliedre regular - és un poliedre convex amb la simetria màxima. Elements de políedres regulars:

• Tetrahedron: 6 costelles 4 cares 5 vèrtexs;
• hexaedre (cub) 12, 6, 8;
• dodecaedre 30, 12, 20;
• octaedre 12, 8, 6;
• icosàedre 30, 20, 12.

El teorema d'Euler

S'estableix una relació entre el nombre d'arestes, vèrtexs i cares són topològicament equivalent a una esfera. Sumant el nombre de vèrtexs i cares (B + D) tenen diferents políedres regulars i comparar-los amb el nombre de nervis, és possible establir una regla: la suma nombre de cares igual al nombre de vèrtexs i arestes (P) van augmentar en 2. És possible derivar una simple fórmula:

• B + D = P + 2.

Aquesta fórmula és vàlida per a tots els políedres convexos.

definicions bàsiques

El concepte d'un poliedre regular és impossible descriure en una frase. És més valorat i volum. Un cos per a ser reconegut com a tal, cal que compleixi una sèrie de definicions. Per tant, un cos geomètric serà un poliedre regular quan es compleixen aquestes condicions:

• és convexa;
• el mateix nombre de nervadures convergeix en cadascun dels seus vèrtexs;
• totes les facetes de les seves - polígons regulars, iguals entre si;
• Tots els angles diedres són iguals.

Les propietats dels políedres regulars

Hi ha 5 tipus diferents de políedres regulars:

1. Cube (hexaedre) - té un angle de vèrtex plana és de 90 °. Té un angle de 3 costats. cara Quantitat angles en el vèrtex de 270º.
2. Tetrahedron - angle de vèrtex plana de - 60 °. Té un angle de 3 costats. cara Quantitat angles en el vèrtex - 180 °.
3. Octahedron - angle de vèrtex plana de - 60 °. Té un angle de quatre costats. cara quantitat angles en el vèrtex - 240 °.
4. Dodecahedron - un angle de vèrtex plana de 108 °. Té un angle de 3 costats. cara quantitat angles en el vèrtex - 324 °.
5. Icosaedre - que té un angle de vèrtex plana de - 60 °. Té un angle de cinc costats. cara Quantitat angles en el vèrtex de 300 °.

L'àrea de políedres regulars

L'àrea de superfície dels cossos geomètrics (S) es calcula com una àrea de polígon regular multiplicat pel nombre de facetes (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / pàg.

El volum d'un poliedre regular

Aquest valor es calcula multiplicant el volum d'una piràmide regular la base és un polígon regular, el nombre de cares, i la seva altura és el radi inscrit de l'esfera (r):

• V = 1: 3RS.

Els volums de políedres regulars

Igual que qualsevol altre políedres regulars geomètriques sòlides, tenen diferents volums. A continuació es presenten les fórmules pel qual poden calcular:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octaedre: α x 3√2: 3;
• icosàedre; α x 3;
• hexaedre (cub): alfa x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecaedre: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements de políedres regulars

Hexahedron i octàedre són cossos geomètrics duals. En altres paraules, poden sortir d'un a l'altre en cas que el centre de gravetat d'un es pren com la part superior de l'altra, i viceversa. També són de doble icosàedre i el dodecàedre. Només a si mateix tetraedre és dual. Segons el mètode d'Euclides pot ser obtingut a partir d'un hexaedre dodecaedre mitjançant la construcció de "sostres" a les cares del cub. Els vèrtexs del tetraedre són qualsevol 4 vèrtexs del cub, no paris adjacents al llarg de la vora. De hexaedre (cub) es poden obtenir, i altres políedres regulars. Malgrat el fet que els polígons regulars existeixen innombrables políedres, regular, hi ha solament 5 són.

Els radis dels polígons regulars

Amb cadascun d'aquests cossos geomètrics són esferes concèntriques connectades 3:

• es descriu passant a través dels vèrtexs;
• inscrita en relació amb cadascuna de les seves cares en el centre de la mateixa;
• la mitjana relativa a totes les arestes en el medi.

El radi de l'esfera es descriu per la següent fórmula es calcula:

• R = A: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

El radi de l'esfera inscrita es calcula com segueix:

• R = A: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

on θ - angle diedre que es troba entre les facetes adjacents.

El radi mitjà de l'esfera es pot calcular utilitzant la fórmula següent:

• ρ = pi a cos / p: 2 sin π / h,

on h = la magnitud de 4,6, 6,10 o 10. La relació dels radis de la descrita inscrit i simètricament respecte a p i q. Es calcula com segueix:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

La simetria dels poliedres

La simetria dels poliedres regulars és d'interès primordial per a aquests cossos geomètrics. S'entén com a moviment del cos en l'espai, el que deixa el mateix nombre de vèrtexs, cares i arestes. En altres paraules, sota la influència de simetria transformacions de vora, vèrtex, o cara conserva la seva posició original, o es mou a la posició inicial d'una altra costella, els altres vèrtexs o cares.

Elements de simetria dels poliedres regulars són comuns a tots els tipus de sòlids geomètrics. Aquí es porta a terme en la transformació d'identitat, el que deixa qualsevol dels punts en la posició original. Per tant, quan s'encén el prisma poligonal pot obtenir algunes simetries. Qualsevol d'ells pot representar com a producte de la reflexió. Simetria, que és el producte d'un nombre parell de reflexions, trucada directa. Si és el producte d'un nombre imparell de reflexions, llavors es diu retroalimentació. Per tant, totes les voltes al voltant de la línia recta representen la simetria. Qualsevol políedre reflexió - és la simetria inversa.

Per comprendre millor els elements de simetria dels poliedres regulars, es pot prendre l'exemple del tetraedre. Qualsevol línia que passi a través d'un dels vèrtexs i el centre de la forma geomètrica, es durà a terme, i pel centre de l'aresta oposada a aquesta. Cadascuna de les voltes 120 i 240 ° al voltant de la línia pertany a la simetria tetraèdrica plural. Ja que 4 vèrtexs i cares, obtenim un total de vuit simetries directes. Qualsevol de les línies que passen pel centre de les vores i el centre del cos, que passi pel centre de la vora oposat. Qualsevol rotació de 180 °, anomenada una mitja volta al voltant d'una simetria recta. Des del tetraedre té tres parells de costelles, que aconseguir els tres eixos de simetria. Basat en l'anterior, podem concloure que el nombre total de simetria directa, i incloent la transformació d'identitat, serà de fins a dotze. Un altre tetraedre simetria directa no existeix, però té 12 simetria inversa. En conseqüència, només 24, caracteritzat simetries tetraedre. Per a més claredat, podem construir un model d'un tetraedre regular de cartró i assegureu-vos que és el cos geomètric realment té només el 24 simetria.

Dodecaedre i l'icosàedre - més proper a la zona del cos. Icosaedre té el major nombre de cares, l'angle diedre i sobretot pot aferrar fermament a l'esfera inscrita. Dodecaedre té el defecte més gran angle sòlid angular més baix en el vèrtex. Es pot maximitzar per omplir en l'àmbit circumscrit.

políedres d'escombrat

exploració políedres regulars, que tots junts atrapats en la infància, té una gran quantitat de conceptes. Si hi ha un conjunt de polígons, cada costat de la qual s'identifica amb només un costat del poliedre, la identificació de les parts ha de complir amb dues condicions:

• de cada polígon, es pot anar a un polígon que té la identificació de la cara;
• costat identificable ha de tenir la mateixa longitud.

Es tracta d'un conjunt de polígons que compleixen aquestes condicions, i es diu una exploració poliedre. Cadascun d'aquests cossos té diversos d'ells. Per exemple, una galleda dels quals hi ha 11 peces.