Georg Cantor: la teoria de conjunts, biografia i matemàtiques família

Georg Cantor (foto mostra més endavant en l'article) - matemàtic alemany que va desenvolupar la teoria de conjunts i va introduir el concepte dels nombres transfinits, infinitament grans, però diferents entre si. També va donar una definició dels nombres ordinals i cardinals i va establir la seva aritmètica.

Georg Cantor: una breu biografia

Nascut a Sant Petersburg 1845.03.03. El seu pare era un protestant danès Georg Waldemar Cantor, estava ocupat en el comerç, en el Vol. H. i en la borsa. La seva mare, Maria, Bem era catòlic i provenia d'una família de músics prominents. Quan en 1856 el seu pare George es va emmalaltir, la família a la recerca d'un clima més suau va traslladar primer a Wiesbaden després a Frankfurt. talent matemàtic, el noi va aparèixer abans del seu aniversari número 15 mentre s'estudia a les escoles privades i les escoles públiques a Darmstadt i Wiesbaden. Al final, Georg Cantor va convèncer al seu pare en la seva determinació per convertir-se en un matemàtic en lloc d'un enginyer.

Després d'un breu entrenament a la Universitat de Zuric el 1863. Cantor va ser transferit a la Universitat de Berlín per estudiar la física, la filosofia i les matemàtiques. No se li va ensenyar:

• Karl Theodor Weierstrass, la especialització en l'anàlisi, probablement va tenir la major influència en George;
• Ernst Kummer, que va ensenyar la més alta aritmètica;
• Leopold Kronecker, al número especialista en teoria, que més tard es va oposar Cantor.

Després d'haver passat un semestre a la Universitat de Göttingen en 1866, l'any que ve George va escriure la seva tesi doctoral sota el títol "En matemàtiques, l'art de fer preguntes és més valuosa que la solució de problemes" en relació amb el problema que Carl Friedrich Gauss deixa sense resoldre en el seu Disquisitiones Arithmeticae (1801) . Després d'ensenyar breument a l'Escola de Berlín per a les nenes Kantor va començar a treballar a la Universitat de Halle, on va romandre fins al final de la seva vida, primer com a professor, des de 1872 com a professor assistent, i des de 1879 el primer com a professor.

investigació

Al començament d'una sèrie de 10 obres de 1869 a 1873, Georg Cantor considera la teoria de nombres. L'obra reflecteix la passió pel tema del seu estudi i l'efecte de Gauss Kronecker. A suggeriment d'Heinrich Eduard Heine, col·legues de Cantor a Halle, que van reconèixer el seu talent matemàtic, es va tornar a la teoria de les sèries trigonomètriques, que va ampliar el concepte dels nombres reals.

Sobre la base de la funció de treball d'una variable complexa del matemàtic alemany Bernhard Riemann en 1854, en 1870 Cantor ha demostrat que una funció d'aquest tipus pot ser representada d'una sola manera - per sèries trigonomètriques. Consideració del conjunt de nombres (punts), el que no contradiguin aquest punt de vista, el va conduir, en primer lloc, el 1872, a la definició dels nombres irracionals en termes de seqüències convergents de nombres racionals (fraccions de nombres enters) i després a l'inici dels treballs en l'obra de la seva vida, la teoria de conjunts i el concepte dels nombres transfinits.

la teoria de conjunts

Georg Cantor, la teoria que va originar conjunts en correspondència amb l'Institut de Tècnica de Braunschweig matemàtic Richard Dedekind, era amic d'ell des de la infància. Van arribar a la conclusió que els conjunts, finit o infinit, són una pluralitat d'elements (per exemple, números de {0, ± 1, ± 2 ...}) que tenen una certa propietat, mentre que conserva la seva individualitat. Però quan Georg Cantor s'aplica a estudiar les seves característiques una correspondència (per exemple, {A, B, C} a {1, 2, 3}), ràpidament es va adonar que difereixen en el grau d'afiliació, fins i tot si fos conjunts infinits , t. e. peça conjunt o un subconjunt dels quals inclou el mateix nombre d'objectes, ja que és en si. El seu mètode aviat va donar resultats sorprenents.

El 1873, Georg Cantor (matemàtic) va mostrar que els nombres racionals, encara que infinit, són comptables, pel fet que es poden posar en correspondència un-a-un amb natural (és a dir. E. 1, 2, 3,. D.). Va mostrar que el conjunt de nombres reals que consisteixen en una infinita racional i irracional, i incomptables. Quina paradoxa, Cantor va demostrar que el conjunt de tots els nombres algebraics conté tants elements com el conjunt de tots els enters, i que els números transcendents que no són algebraica, que són un subconjunt dels nombres irracionals és incomptable i per tant el seu nombre és més gran que els nombres enters i ha de ser considerat com infinit.

Oponents i partidaris

Però el treball de Cantor, en el qual es va presentar per primera vegada els resultats, no es va publicar a la revista "Krell" com un dels revisors, Kronecker s'oposava. Però després de la intervenció del Dedekind va ser publicat en 1874 sota el títol "Les característiques de tots els nombres algebraics reals."

La ciència i la vida personal

En el mateix any, durant la lluna de mel amb la seva dona, Valli Gutman a Interlaken, Suïssa, es va reunir Cantor Dedekind que amablement va comentar sobre la seva nova teoria. George sou era petita, però amb els diners que el seu pare, que va morir el 1863, que havia construït per a la seva dona i cinc fills a casa. Molts dels seus treballs han estat publicats a Suècia a la nova revista Acta Mathematica, l'editor i fundador dels quals era Gösta Mittag-Leffler, entre els primers a reconèixer el talent del matemàtic alemany.

La comunicació amb la metafísica

Teoria Cantor era completament nou subjecte de la investigació relativa a infinit matemàtiques (per exemple, la seqüència 1, 2, 3,. D., i conjunts més complexos), que és dependent en gran mesura de correspondència un-a-un. Cantor Desenvolupament de nous mètodes de fixació de les qüestions relatives a la continuïtat i l'infinit va prestar els seus estudis de mescla.

Quan va sostenir que hi ha realment un nombre infinit, es va dirigir a la filosofia antiga i medieval en relació amb l'infinit real i potencial, així com a l'educació religiosa primerenca, el que els pares li van donar. El 1883, en el seu llibre "Fonaments de la teoria general de conjunts" Kantor va combinar el seu concepte de la metafísica de Plató.

Kronecker també, que van afirmar que "no són" només sencers ( "Déu va crear els nombres sencers, la resta - el treball de l'home"), durant molts anys va rebutjar enèrgicament els seus arguments i va impedir el seu nomenament a la Universitat de Berlín.

nombres transfinits

En 1895-1897 gg. Georg Cantor totalment formar la seva idea de la continuïtat i l'infinit, incloent una seqüència de nombres sense fi i cardinals, en la seva obra més famosa, publicada sota el títol «De la teoria dels nombres transfinits" (1915). Aquest treball inclou la seva concepció, a la qual va conduir una demostració que un conjunt infinit es pot lliurar en una correspondència una-un amb un dels seus subconjunts.

El nombre cardinal transfinito més petit que volia dir el poder de qualsevol conjunt, que es poden posar en correspondència un-a-un amb els números naturals. Kantor va descriure la seva aleph-zero. Large pluralitat transfinita Alef-designat un, dos o Alef-t. D. Es va desenvolupar a més ordinals aritmètiques, que era similar a l'aritmètica finita. Per tant, s'ha enriquit el concepte d'infinit.

L'oposició que va enfrontar, i el temps que es va trigar a assegurar-se que les seves idees van ser acceptades plenament, va explicar les complexitats de la revaloració de l'antiga pregunta de quin és el nombre. Kantor va mostrar que un conjunt de punts en la línia té una major capacitat que Alef-zero. Això va portar al conegut problema de la hipòtesi del continu - no hi ha cap cardenals entre preses de corrent en la línia de aleph-zero i. Aquest problema en la primera i segona meitat del segle 20 és de gran interès i ha estat estudiat per molts matemàtics, al Vol. H. Kurt Gödel i Paul Cohen.

depressió

Biografia Georga Kantora 1884 es va veure entelat per la seva malaltia mental incipient, però va continuar treballant activament. El 1897 va ajudar a mantenir el primer Congrés Internacional de Matemàtics a Zuric. En part perquè s'oposava a la Kronecker, que sovint simpatitzava amb els joves matemàtics en potència i va tractar de trobar una manera de salvar d'assetjament per part dels mestres que se senten amenaçats per les noves idees.

reconeixement

En el canvi de segle seu treball va ser reconegut plenament com a base per a la teoria de funcions, l'anàlisi i la topologia. A més, el llibre Kantora Georga va servir com a impuls per al desenvolupament futur de l'escola formalista i intuicionista de fonaments lògics de les matemàtiques. Això ha canviat significativament el sistema d'ensenyament i és sovint associada amb la "nova matemàtica".

El 1911, Cantor va ser un dels convidats a la celebració del 500 aniversari de la Universitat de St. Andrews a Escòcia. Se'n va anar allà amb l'esperança de satisfer Bertrand Russell, que en el seu treball recentment publicat Principia Mathematica es va referir repetidament al matemàtic alemany, però això no va succeir. Universitat va atorgar un grau honorari Cantor, però a causa d'una malaltia que era incapaç d'acceptar el premi en persona.

Cantor es va retirar el 1913 i va viure en la pobresa i de fam durant la Primera Guerra Mundial. Les celebracions en honor al seu aniversari número 70 en 1915 van ser cancel·lats a causa de la guerra, però una petita cerimònia es va dur a terme a casa seva. Va morir el 1918.06.01, a Galle, en un hospital psiquiàtric, on va passar els últims anys de la seva vida.

Georg Cantor: una biografia. família

9 agost 1874, el matemàtic alemany casat Valli Gutman. La parella va tenir 4 fills i 2 filles. L'últim fill va néixer el 1886 a Cantor va comprar una nova casa. Donar suport a la família que va ajudar a l'herència del seu pare. La salut de Cantor afectada en gran mesura de la mort del seu fill menor en 1899 - ja que mai va sortir de la depressió.