Teoria de probabilitat. Probabilitat de l'esdeveniment, esdeveniments aleatoris (teoria de probabilitat). Esdeveniments independents i incompatibles en la teoria de la probabilitat

És poc probable que moltes persones pensen que és possible comptar esdeveniments, que fins a cert punt accidental. Per posar-ho en paraules senzilles, és realista per saber de quin costat del cub en els daus caurà la propera vegada. Va ser aquesta pregunta per fer dos grans científics, va establir les bases d'aquesta ciència, la teoria de la probabilitat, la probabilitat que l'esdeveniment en el qual el estudiat àmpliament suficient.

generació

Si voleu definir un concepte com el de la teoria de la probabilitat, obtenim el següent: aquesta és una de les branques de les matemàtiques que estudia la constància dels esdeveniments a l'atzar. Clarament, aquest concepte realment no revela l'essència, per la qual cosa cal considerar amb més detall.

M'agradaria començar amb els fundadors de la teoria. Com es va esmentar anteriorment, hi havia dos, que per Ferma i Blez Paskal. Ells van ser el primer intent d'ús de fórmules i càlculs matemàtics per calcular el resultat d'un esdeveniment. En general, els rudiments d'aquesta ciència és encara en l'Edat Mitjana. Mentre que diversos pensadors i científics han tractat d'analitzar els jocs de casino com la ruleta, daus, i així successivament, per tant establir un patró, i el percentatge de pèrdua d'un nombre. La fundació també es va col·locar al segle XVII van ser els estudiosos esmentats.

Al principi, el seu treball no podia atribuir-se als grans èxits en aquest camp, després de tot, el que van fer, que eren simplement fets i experiments empírics eren clarament sense necessitat d'utilitzar fórmules. Amb el temps, es va tornar a aconseguir grans resultats, que van aparèixer com a resultat de l'observació de l'elenc dels ossos. Està aquest instrument ha ajudat a que la primera fórmula diferent.

partidaris

Per no parlar d'un home com Christiaan Huygens, en el procés d'estudiar el tema que porta el nom de "teoria de la probabilitat" (probabilitat de l'esdeveniment posa en relleu que en aquesta ciència). Aquesta persona és molt interessant. Ell, igual que els científics presentats anteriorment es va tractar en forma de fórmules matemàtiques per deduir un patró de successos aleatoris. És de destacar que no compartia amb Pascal i Fermat, és a dir tota la seva obra no es solapa amb les ments. Huygens deriva els conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat.

Un fet interessant és que el seu treball va arribar molt abans que els resultats dels treballs de pioners, per ser exactes, vint anys abans. Hi ha només entre els conceptes identificats van ser:

• com el concepte de valors de probabilitat atzar;
• expectativa per al cas discret;
• teoremes d'addició i multiplicació de les probabilitats.

A més, no es pot oblidar Yakoba Bernoulli, que també va contribuir a l'estudi del problema. A través del seu compte, cap dels quals són proves independents, que va ser capaç de proporcionar la prova de la llei dels grans nombres. Al seu torn, els científics de Poisson i Laplace, que va treballar a principis del segle XIX, van ser capaços de demostrar el teorema originals. A partir d'aquest moment per analitzar els errors en les observacions que vam començar a utilitzar la teoria de probabilitats. Partit al voltant d'aquesta ciència no podia i científics russos, en lloc de Markov, Chebyshev i Dyapunov. Es basen en el treball realitzat grans genis, assegurat el subjecte com una branca de les matemàtiques. Hem treballat aquestes xifres a la fi del segle XIX, gràcies a la seva contribució, s'han demostrat fenòmens com ara:

• llei dels grans nombres;
• Teoria de les cadenes de Markov;
• El teorema del límit central.

Així, la història del naixement de la ciència i amb les principals personalitats que van contribuir a ella, tot està més o menys clar. Ara és el moment d'aprofundir en tots els fets.

conceptes bàsics

Abans de tocar les lleis i teoremes han d'aprendre els conceptes bàsics de la teoria de la probabilitat. Esdeveniment que ocupa un paper dominant. Aquest tema és bastant extensa, però no serà capaç d'entendre tota la resta sense.

Esdeveniment en teoria de la probabilitat - es Qualsevol conjunt de resultats de l'experiment. Els conceptes d'aquest fenomen no és suficient. Per tant, Lotman científic que treballa en aquesta àrea, ha expressat que en aquest cas estem parlant del "passat, tot i que no podria succeir."

Els successos aleatoris (teoria de la probabilitat presta especial atenció a ells) - és un concepte que implica absolutament qualsevol fenomen que tingui la possibilitat de passar. O, al contrari, aquest escenari no pot succeir en l'acompliment d'una varietat de condicions. També val la pena saber que ocupen tot el volum dels fenòmens que ocorren esdeveniments simplement a l'atzar. La teoria de probabilitats suggereix que totes les condicions es poden repetir constantment. És la seva conducta ha estat anomenat "experiència" o "prova".

Fet rellevant - es tracta d'un fenomen que és cent per cent en aquesta prova passi. En conseqüència, el succés impossible - això és una cosa que no succeeix.

La combinació de parells d'Acció (convencionalment el cas A i el cas B) és un fenomen que es produeix de forma simultània. Ells es coneixen com AB.

La quantitat de parells d'esdeveniments A i B - C és, en altres paraules, si almenys un d'ells (A o B), s'obté un C. La fórmula fenomen descrit s'escriu com C = A + B.

desenvolupaments incompatibles en la teoria de la probabilitat implica que els dos casos són mútuament excloents. Al mateix temps que estan en qualsevol cas no pot passar. actes conjunts en teoria de la probabilitat - és la seva antípoda. La implicació és que si A ha passat, que no s'oposa a C.

Oposar-se a l'esdeveniment (teoria de la probabilitat els considera en gran detall), són fàcils d'entendre. El millor és tractar amb ells de comparació és. Són gairebé els mateixos desenvolupaments com incompatibles en la teoria de la probabilitat. No obstant això, la seva diferència és que un d'una pluralitat de fenòmens en qualsevol cas hauria de passar.

Igualment probables esdeveniments - aquestes accions, la possibilitat de la repetició és igual. Perquè quedi clar, es pot imaginar llançar una moneda: la pèrdua d'un dels seus costats és igualment probable una altra pèrdua.

és més fàcil tenir en compte l'exemple d'afavorir l'esdeveniment. Suposem que hi ha un episodi en l'episodi A. El primer - un rotllo d'un encuny amb l'arribada d'un nombre imparell, i el segon - el pla del nombre cinc en els daus. Llavors resulta que A és afavorida V.

esdeveniments independents en teoria de la probabilitat es projecten només en dues o més ocasions i impliquen independent de qualsevol acció per part de l'altra. Per exemple, A - en la pèrdua de llançament cues moneda, i B - jack dostavanie des de la coberta. Tenen esdeveniments independents en la teoria de probabilitats. A partir d'aquest moment es va fer evident.

esdeveniments dependents en teoria de la probabilitat també és permissible només pel seu conjunt. Impliquen la dependència d'un en l'altre, és a dir, el fenomen pot ocórrer en només en el cas en què A ja ha passat o, per contra, no va succeir quan és - la principal condició per a B.

El resultat de l'experiment aleatori que consisteix en un únic component - és successos elementals. La teoria de probabilitats diu que es tracta d'un fenomen que es realitza una sola vegada.

fórmula bàsica

Per tant, l'anterior es van considerar el concepte de "esdeveniment", "teoria de la probabilitat", també se li va donar definicions dels termes clau d'aquesta ciència. Ara és el moment per familiaritzar-se amb les fórmules importants. Aquestes expressions es va confirmar matemàticament tots els principals conceptes en un tema tan difícil com la teoria de la probabilitat. Probabilitat d'un succés i juga un paper molt important.

Millor començar amb les fórmules bàsiques de la combinatòria. I abans de començar a ells, val la pena considerar el que és.

Combinatòria - és sobretot una branca de les matemàtiques, que ha estat estudiant un gran nombre d'enters, i diverses permutacions dels dos nombres i els seus elements, diverses dades, etc., donant lloc a una sèrie de combinacions ... A més de la teoria de la probabilitat, aquesta indústria és important per a l'estadística, la informàtica i la criptografia.

Pel que ara es pot passar a la presentació dels mateixos i les seves fórmules de definició.

El primer d'aquests és l'expressió per al nombre de permutacions, és com segueix:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 1 ⋅ ⋅ = n!

L'equació s'aplica només en el cas si els elements difereixen només en l'ordre de disposició.

Ara fórmula col·locació, sembla que això es considerarà:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ⋅ ... (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Aquesta expressió és aplicable no només a l'únic element de col·locació de l'ordre, sinó també a la seva composició.

La tercera equació de la combinatòria, i és aquesta última, anomenada la fórmula per al nombre de combinacions:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Combinat anomenat mostreig, que no estan ordenades, respectivament, i s'aplica a aquesta regla.

Amb les fórmules de la combinatòria van arribar a entendre fàcilment, ara es pot anar a la definició clàssica de la probabilitat. Sembla que aquesta expressió de la següent manera:

P (A) = m: n.

En aquesta fórmula, m - és el nombre de condicions propícies per al cas d'A, i n - nombre d'esdeveniments per igual i completament tots els elementals.

Hi ha moltes expressions en l'article no seran considerats com qualsevol cosa menys afectats seran els més importants, com ara, per exemple, la probabilitat d'esdeveniments ascendeix:

P (A + B) = P (A) + P (B) - aquest teorema per afegir només esdeveniments mútuament exclusius;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - però això és només per afegir compatible.

La probabilitat que les obres d'esdeveniments:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - aquest teorema per a esdeveniments independents;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - i això pel dependent.

llista de composició de fórmula esdeveniments. La teoria de la probabilitat ens diu el teorema Bayes, que es veu així:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

En aquesta fórmula, H _1, H _2, ..., H _n - és un conjunt complet d'hipòtesis.

En aquesta parada, l'aplicació de les mostres de fórmules ara serà considerat per a tasques específiques de la pràctica.

exemples

Si s'estudia amb cura qualsevol branca de les matemàtiques, que no està exempta d'exercicis i solucions de mostra. I la teoria de la probabilitat: esdeveniments, exemples aquí són un component integral de confirmar els càlculs científics.

La fórmula per al nombre de permutacions

Per exemple, d'una baralla de cartes tenen trenta, a partir de la nominal. La següent pregunta. Quantes maneres de doblegar la coberta de manera que les targetes amb un valor nominal d'un i dos no es troben al costat?

La tasca s'estableix, ara anem a passar a tractar amb ell. En primer lloc cal determinar el nombre de permutacions de trenta elements, per a aquest propòsit que prenem la fórmula anterior, resulta P_30 = 30 !.

Sobre la base d'aquesta regla, sabem la quantitat d'opcions que hi ha per fixar la coberta de moltes maneres, però s'han de deduir d'elles són aquelles en què la primera i la segona targeta serà el pròxim. Per a això, començar amb una variant, quan el primer es troba en el segon. Resulta que el primer mapa pot prendre vint-i llocs - des del primer fins al vintè novè, i la segona targeta de la segona a la mitjana, es torna vint-i seients per als parells de cartes. Al seu torn, els altres poden prendre vint seients, i en qualsevol ordre. És a dir, per a la reordenació dels vint-i vuit cartes han vint opcions P_28 = 28!

El resultat és que si tenim en compte la decisió, quan la primera targeta està en la segona oportunitat addicional per obtenir 29 ⋅ 28! = 29!

Utilitzant el mateix mètode, cal calcular el nombre d'opcions redundants per al cas quan la primera targeta es troba sota el segon. També obtingut 29 ⋅ 28! = 29!

D'això es dedueix que les opcions addicionals 2 ⋅ 29 !, Mentre que els mitjans necessaris per a la recollida de la coberta 30! - 2 ⋅ 29 !. Només queda per calcular.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Ara necessitem multiplicar junts tots els números de l'u al vint-anys, i després, al final de tot multiplicat per 28. La resposta obtinguda 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Exemples de solucions. La fórmula per al nombre d'allotjaments

En aquest problema, cal esbrinar quantes hi ha maneres de posar els quinze volums en un prestatge, però a condició que només trenta volums.

En aquesta tasca, la decisió una mica més fàcil que l'anterior. Utilitzant la fórmula ja coneguda, és necessari per calcular el nombre total de trenta-ubicacions quinze volums.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ de (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Resposta, respectivament, serà igual al 843 204 931 202 727 360 000.

Des d'aquí, prendre la tasca una mica més difícil. El que necessita saber quants hi ha maneres d'organitzar els trenta-dos llibres en els prestatges, amb la condició que només quinze volums poden residir en el mateix prestatge.

Abans del començament de la decisió agradaria aclarir que alguns dels problemes es poden resoldre de diverses maneres, i en això hi ha dues maneres, però en un i la mateixa fórmula s'aplica.

En aquesta tasca, es pot prendre la resposta de l'anterior, perquè no s'ha calculat el nombre de vegades que es pot omplir el prestatge durant quinze llibres de diferents maneres. Va resultar A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... de (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16.

El segon regiment calcula mitjançant la fórmula remodelació, ja que es col·loca quinze llibres, mentre que la resta de quinze anys. Utilitzem fórmula P_15 = 15 !.

Resulta que la suma es A_30 ^ 15 ⋅ P_15 maneres, però, a més, el producte de tots els números de trenta als setze anys es multiplicarà pel producte dels nombres de l'u al quinze, al final va resultar el producte de tots els nombres de l'u al trenta anys, que és la resposta 30!

No obstant això, aquest problema pot ser resolt d'una manera diferent - més fàcil. Per a això, es pot imaginar que hi ha un prestatge d'una trentena de llibres. Tots ells estan situats en aquest pla, però a causa de que la condició requereix que hi havia dos prestatges, una llarga ens serrat per la meitat, dos compleix quinze anys. D'això resulta que per aquesta disposició pot ser P_30 = 30 !.

Exemples de solucions. La fórmula per al nombre de combinacions de

Qui és considerat una variant del tercer problema de combinatòria. Cal saber quantes maneres hi ha d'organitzar quinze llibres sobre la condició que ha de triar trenta exactament el mateix.

Per a la decisió serà, per descomptat, aplicar la fórmula per al nombre de combinacions. De la condició que es fa evident que l'ordre dels mateixos quinze llibres no és important. Pel que inicialment es necessita esbrinar el nombre total de combinacions de trenta quinze llibres.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Això és tot. Usant aquesta fórmula, en el menor temps possible per resoldre tal problema, la resposta, respectivament, igual a 155.117.520.

Exemples de solucions. La definició clàssica de probabilitat

Utilitzant la fórmula donada anteriorment, es pot trobar una resposta en una tasca senzilla. Però serà clarament veure i seguir el curs d'acció.

La tasca donat que en una urna hi ha deu boles completament idèntiques. D'aquests, quatre i sis groc i blau. Pres de l'urna una bola. Cal conèixer la probabilitat dostavaniya blau.

Per resoldre el problema, cal designar dostavanie esdeveniment bola blava A. Aquesta experiència pot tenir deu resultats, que, al seu torn, primària i la mateixa probabilitat. Alhora, sis dels deu són favorables per a l'esdeveniment A. Resoldre la fórmula següent:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Aplicant aquesta fórmula, vam saber que la possibilitat d'obtenir la bola blava és de 0,6.

Solució de l'exemple. Probabilitat de la suma d'esdeveniments

Ara es presentarà una variant, que es resol utilitzant la fórmula de probabilitat de la suma d'esdeveniments. Així doncs, en la condició es dóna que hi ha dues caixes, en la primera hi ha un gris i cinc boles blanques, i en el segon - vuit boles grises i quatre boles blanques. Com a resultat, un d'ells va ser pres de la primera i segona caixes. Cal esbrinar quina és la possibilitat que les boles rebudes siguin grises i blanques.

Per resoldre aquest problema, cal designar esdeveniments.

• A continuació, A: va prendre la bola gris del primer calaix: P (A) = 1/6.
• A ': també va prendre una bola blanca del primer calaix: P (A') = 5/6.
• B: extreu la bola grisa de la segona casella: P (B) = 2/3.
• B ': va prendre una bola gris des de la segona casella: P (B') = 1/3.

Per la condició del problema, és necessari que es produeixi un dels esdeveniments: AB 'o A'B. Utilitzant la fórmula, obtenim: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Ara es va utilitzar la fórmula per multiplicar la probabilitat. A continuació, per esbrinar la resposta, heu d'aplicar l'equació de la seva suma:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Així, utilitzant la fórmula, podeu resoldre problemes semblants.

El resultat

L'article va presentar informació sobre el tema "Teoria de la probabilitat", la probabilitat d'un esdeveniment en el qual juga un paper crucial. Per descomptat, no es va tenir en compte tot, però, basant-se en el text presentat, es pot conèixer teòricament aquesta secció de matemàtiques. Aquesta ciència pot ser útil no només en la pràctica professional, sinó també en la vida quotidiana. Amb la seva ajuda, podeu calcular qualsevol possibilitat d'un esdeveniment.

El text també va abordar dates significatives en la història de l'aparició de la teoria de la probabilitat com a ciència i els noms de les persones les obres van ser invertides en ell. Així és com la curiositat humana ha portat al fet que la gent ha après a explicar fins i tot esdeveniments aleatoris. Una vegada que acaben d'interessar-hi, però avui tot el món ho sap. I ningú no dirà el que ens espera en el futur, quins altres descobriments brillants relacionats amb la teoria que s'està considerant es comprometen. Però una cosa és segura: la investigació sobre el terreny no val la pena!