Diferents maneres de demostrar el teorema de Pitàgores: Exemples, descripció i comentaris

Una cosa és segura al cent per cent que la qüestió, que és igual al quadrat de la hipotenusa, qualsevol adult amb audàcia a respondre: "la suma dels quadrats dels catets." Aquest teorema s'adhereix fermament en la ment de tota persona educada, però que acaba de demanar a algú per provar-ho, i pot haver-hi dificultats. Per tant, recordem i considerar diferents maneres de provar el teorema de Pitàgores.

Una visió general de la biografia

El teorema de Pitàgores és familiar per a gairebé tothom, però per alguna raó, la vida humana, el que ha fet a la llum, no és tan popular. Això es pot arreglar. Per tant, abans d'explorar les diferents maneres de provar el teorema de Pitàgores, cal conèixer breument amb la seva personalitat.

Pitàgores - filòsof, matemàtic, filòsof originari de l'antiga Grècia. Avui dia és molt difícil distingir la seva biografia de les llegendes que s'han establert en la memòria d'aquest gran home. No obstant això, es desprèn de les obres dels seus seguidors, Pifagor Samossky va néixer a l'illa de Samos. El seu pare era un picapedrer normal, però la seva mare provenia d'una família noble.

D'acord amb la llegenda, el naixement de Pitàgores va predir dona anomenada Pítia, en l'honor i el nom del nen. D'acord amb la seva predicció del naixement d'un nen portaria una gran quantitat de beneficis i la bondat de la humanitat. Que de fet ho van fer.

El naixement del teorema

En la seva joventut, Pitàgores es va traslladar des Samos a Egipte per reunir-se amb els savis egipcis coneguts. Després de reunir-se amb ells, va ser admès a la formació, i sabia on tots els grans èxits de la filosofia egípcia, les matemàtiques i la medicina.

Va ser probablement a Egipte Pitàgores inspirats per la majestuositat i la bellesa de les piràmides i va crear la seva gran teoria. Es pot sorprendre els lectors, però els historiadors moderns creuen que Pitàgores no va provar la seva teoria. I només impartit el seu coneixement de seguidors que més tard es van acabar tots els càlculs matemàtics necessaris.

Fos el que fos, ara se sap més d'un mètode de prova d'aquest teorema, sinó diverses. Avui dia només es pot endevinar com els grecs van fer els seus càlculs, de manera que hi ha diferents maneres de veure la demostració del teorema de Pitàgores.

teorema de Pitàgores

Abans d'iniciar qualsevol càlcul, cal saber quina teoria a prova. El teorema de Pitàgores és: "En un triangle en el qual un dels angles és ^{d'aproximadament} 90, la suma dels quadrats dels catets és igual al quadrat de la hipotenusa."

En total hi ha 15 maneres diferents per demostrar el teorema de Pitàgores. Aquesta és una xifra bastant alta, així que presta atenció el més popular d'ells.

mètode 1

En primer lloc, es denota que se'ns dóna. Aquestes dades s'estendran a altres mètodes de demostració del teorema de Pitàgores, pel que és adequat per a recordar totes les designacions existents.

Suposem triangle rectangle donat amb les cames a, i una hipotenusa igual a c. El primer mètode es basa en l'evidència que, a causa d'un triangle rectangle és necessari per acabar la plaça.

Per a això, cal una longitud de les cames d'un segment igual a acabar en una cama, i viceversa. Pel que ha de tenir dos costats iguals de la plaça. Només podem traçar dues línies paral·leles, i la plaça està llest.

A l'interior, les xifres resultants han de treure una altra quadrada amb un costat igual a la hipotenusa del triangle original. Amb aquesta finalitat, els vèrtexs de ac i la comunicació cal traçar dues segments iguals amb paral·lel. Per tant l'obtenció dels tres costats d'un quadrat, una de les quals és la rectangular original de triangles la hipotenusa. Docherty segueix sent només el quart segment.

Basat en el patró resultant es pot concloure que l'àrea exterior del quadrat és igual a (a + b) ^2. Si ens fixem en les figures, es pot veure que, a més de la plaça interior té quatre triangles rectangles. L'àrea de cada un és 0,5av.

Per tant, l'àrea és igual a: 4 * 0,5av + c ² = a ² + 2AV

Per tant, (a + b) ² = c ² + 2AV

I per tant, amb ² = a ² + ²

Això demostra el teorema.

Mètode 2: triangles semblants

Aquesta fórmula és la prova del teorema de Pitàgores es deriva sobre la base de l'aprovació de la secció de la geometria d'aquests triangles. S'afirma que les cames d'un triangle rectangle - la proporcional mitjana al seu hipotenusa i la longitud de la hipotenusa, que emana des del vèrtex ^90.

Les dades inicials són els mateixos, pel que començarem immediatament amb la prova. Dibuixeu perpendicular al costat del segment AB CD. Sobre la base de l'aprovació per sobre de les cames dels triangles són iguals:

AC = √AV * AE, CB = √AV * DV.

Per respondre a la pregunta de com demostrar el teorema de Pitàgores, la prova s'ha de encaminar elevant al quadrat els dos desigualtats.

AC ² = AB * BP i CB ² = AB * DV

Ara ha de sumar la desigualtat resultant.

Au ^{2 2} + CB = AB * (BP * ET) on BP = AB + ET

Resulta que:

AC ² + ² = CB AB * AB

I per tant:

AU ^{2 2} + CB = AB ²

La prova del teorema de Pitàgores i les diferents formes de la seva solució han de ser enfocament multifacètic a aquest problema. No obstant això, aquesta opció és un dels més senzills.

Un altre mètode de càlcul

Descripció de les diferents formes de demostrar el Teorema de Pitàgores pot ser res a dir, sempre que la majoria no ho fan ells mateixos han començat a practicar. Moltes de les tècniques impliquen no només matemàtiques, sinó també la construcció del triangle original, noves xifres.

En aquest cas, cal finalitzar el tram BC d'un altre triangle rectangle la TIR. Així que ara hi ha dos triangles amb la cama dg comuna

Sabent que les àrees de figures semblants tenen una relació com els quadrats de les seves dimensions lineals similars, llavors:

S _ABC * ² - S ² * _HPA = S * i _AVD ² - S ² * a _VSD

_Abc * S ⁽² -c ²⁾ = a * (S _AVD -S _VVD) ²

-per ^{2 2} = a ²

² = a ² + ²

A causa dels diferents mètodes de prova del teorema de Pitàgores per al grau 8, aquesta opció no és adequada, pot utilitzar el següent procediment.

La forma més fàcil de demostrar el teorema de Pitàgores. comentaris

Es creu pels historiadors, es va utilitzar per primera vegada aquest mètode per a la prova del teorema de l'antiga Grècia. Ell és el més fàcil, ja que no requereix cap pagament. Si dibuixa una imatge correctament, la prova de l'afirmació que un ² + ² = c ^2, es veurà amb claredat.

Condicions per a aquest procés serà una mica diferent de l'anterior. Per demostrar el teorema, assumir que el triangle rectangle ABC - isòsceles.

Hipotenusa AC fer-se càrrec de la direcció de la plaça i docherchivaem seus tres costats. A més, cal passar dues línies diagonals per formar un quadrat. Per tant, per obtenir quatre triangles equilàters al seu interior.

Per Catete AB i CD, segons sigui necessari Docherty a la plaça i celebrar en una línia diagonal a cada un d'ells. Dibuixar una línia des del primer vèrtex A, una segona - de C.

Ara hem de tenir una mirada propera a la imatge resultant. A mesura que la hipotenusa AC és de quatre triangles iguals a l'original, però en Catete 2, es parla sobre la veracitat d'aquest teorema.

Per cert, gràcies a aquesta tècnica, la prova del teorema de Pitàgores, i així va néixer la famosa frase: "els pantalons de Pitàgores en totes les direccions són iguals."

J. Proof. Garfield

Dzheyms Garfild - el vintè President dels Estats Units d'Amèrica. A més, ha deixat la seva empremta en la història com el governant dels Estats Units, també va ser un autodidacta dotat.

Al principi de la seva carrera, ell era un professor regular a l'escola popular, però aviat es va convertir en el director d'una de les institucions d'educació superior. El desig d'auto-desenvolupament i li va permetre proposar una nova teoria de la demostració del teorema de Pitàgores. Teorema i un exemple de la seva solució és com segueix.

En primer lloc, cal traçar sobre el paper de dues triangle rectangle de manera que una cama de la qual era una continuació d'aquest últim. Els vèrtexs d'aquests triangles s'han de connectar a acabar damunt d'aconseguir un trapezi.

Com és sabut, l'àrea d'un trapezi és igual al producte de la mitjana de la suma de la seva base i l'altura.

S = a + b / 2 * (a + b)

Si tenim en compte el trapezoide resultant, com una figura composta de tres triangles, la seva àrea es pot trobar la següent manera:

S = aw / 2 * 2 + ^2/2

Ara és necessari per igualar els dos expressió original

2AV / 2 + c / 2 = (a + b) ^2/2

² = a ² + ²

Sobre Pitàgores i la manera de demostrar que no es pot escriure un sol llibre de text volum. Però ¿té sentit quan aquest coneixement no es pot aplicar en la pràctica?

Aplicació pràctica del teorema de Pitàgores

Per desgràcia, en el pla d'estudis de l'escola moderna preveu la utilització d'aquest teorema només en problemes geomètrics. Els graduats estaran aviat deixar les parets de l'escola, i no saber, i com poden aplicar els seus coneixements i habilitats en la pràctica.

De fet, per utilitzar el teorema de Pitàgores en la seva vida diària pot cada un. I no només en l'activitat professional, sinó també en les tasques domèstiques ordinàries. Penseu alguns casos en què el teorema de Pitàgores i la manera de demostrar que pot ser extremadament necessari.

teoremes de comunicació i l'astronomia

Semblaria que puguin estar vinculades a les estrelles i triangles en paper. De fet, l'astronomia - una àrea científica en què utilitza àmpliament el teorema de Pitàgores.

Per exemple, consideri el moviment del feix de llum en l'espai. Se sap que la llum viatja en ambdues direccions a la mateixa velocitat. trajectòria AB, que es mou el feix de llum es denomina l. I la meitat del temps requerit per a la llum per arribar des del punt A al punt B, que anomenem t. I la velocitat del llamp - c. Resulta que: c * t = l

Si ens fixem en aquest mateix feix d'un altre avió, per exemple, una nau espacial, que es mou amb una velocitat v, a continuació, en tals cossos de supervisió canviarà la seva velocitat. No obstant això, fins i tot els elements fixos es mouran amb una velocitat v en la direcció oposada.

Suposem folre còmica flotant dreta. Llavors els punts A i B, que es debat entre el feix es mouran a l'esquerra. A més, quan el feix es mou des del punt A al punt B, el punt A el moment de passar, i, en conseqüència, la llum ha entrat en un nou punt C. Per trobar la meitat de la distància a la qual el punt A s'ha mogut, cal multiplicar la velocitat de la nau enmig temps de viatge de feix (t ').

d = t '* v

I per trobar fins on en aquell moment va ser capaç de passar un feix de llum que es necessita per marcar el punt mig de la nova s de faig i la següent expressió:

s = c * t '

Si imaginem que el punt de llum C i B, així com la nau espacial - és la part superior d'un triangle isòsceles, el segment des del punt A al revestiment es divideix en dos triangles rectangles. Per tant, gràcies al teorema de Pitàgores es pot trobar la distància que va ser capaç de passar un feix de llum.

s = l ^{2 2} + d ²

Aquest exemple és, per descomptat, no és la millor, ja que només uns pocs poden tenir la sort de provar-ho en la pràctica. Per tant, considerem que les aplicacions més mundanes d'aquest teorema.

transmissió del senyal mòbil Radius

La vida moderna és impossible d'imaginar sense l'existència dels telèfons intel·ligents. Però, quants d'ells tindria que feien si no van ser capaços de connectar els abonats a través de mòbil ?!

la qualitat de les comunicacions mòbils depèn directament de l'altura a la qual l'antena sigui l'operador de telefonia mòbil. Per tal d'esbrinar a quina distància de les torres de telefonia mòbil pot rebre el senyal, es pot usar el teorema de Pitàgores.

Suposem que vostè vol trobar l'alçada aproximada d'una torre fixa, de manera que pugui distribuir el senyal en un radi de 200 quilòmetres.

AB (alçada de la torre) = x;

Sun (radi de senyal) = 200 km;

OC (radi de la Terra) = 6,380 quilòmetres;

aquí

OB = OA + AVOV = r + x

Aplicant el teorema de Pitàgores, ens trobem amb el que l'alçada mínima de la torre ha de ser d'2,3 quilòmetres.

teorema de Pitàgores a la llar

Per estrany que sembli, el teorema de Pitàgores pot ser útil fins i tot en assumptes domèstics, com ara la determinació de l'altura del compartiment de l'armari, per exemple. A primera vista, no hi ha necessitat d'utilitzar aquest tipus de càlculs complexos, ja que només pot prendre les seves mesures amb una cinta mètrica. Però molts es pregunten per què el procés de construcció hi ha certs problemes, si es prenguessin sobre exactament tots els mesuraments.

El fet és que l'armari va en una posició horitzontal i després aixecat i muntat a la paret. Per tant, la paret lateral de la caixa en el procés d'aixecar el disseny ha de fluir lliurement i en alçada i espais diagonals.

Suposeu que té un armari de 800 mm de profunditat. La distància des del terra fins al sostre - 2600 mm. ebenista amb experiència diu que l'altura del recinte ha d'estar al 126 mm menor que l'alçada de l'habitació. Però per què a 126mm? Considerem el següent exemple.

Sota dimensions ideals d'un armari elèctric, comprovar l'acció del Teorema de Pitàgores:

√AV AC = ² + ² √VS

AU = √2474 ² 800 ² = 2,600 mm - convergeixen.

Diguem, l'alçada de la caixa no és igual a 2474 mm i 2505 mm. llavors:

AU = √2505 ² + √800 = 2,629 ^mm2.

En conseqüència, aquest gabinet no és adequat per a la seva instal·lació a la sala. Atès que en recollir la seva posició vertical pot causar dany al seu cos.

Potser considerades les diferents maneres de provar el teorema de Pitàgores per diferents científics, podem concloure que és més cert. Ara pot utilitzar la informació en la seva vida diària, i estar absolutament segur que tots els càlculs no només són útils, però també és cert.