Progressió geomètrica i les seves propietats

progressió geomètrica és important en les matemàtiques com una ciència, i el significat aplicat, ja que té un abast molt ampli, fins i tot en les matemàtiques superiors, per exemple, en la teoria de les sèries. La primera informació sobre el progrés va venir a nosaltres des de l'antic Egipte, en particular en forma d'un conegut problema del papir Rhind set persones amb set gats. Les variacions d'aquesta tasca es repeteixen moltes vegades en diferents moments d'altres nacions. Fins i tot el Velikiy Leonardo Pizansky, conegut com Fibonacci (s. XIII), va parlar amb ella en el seu "Llibre de l'àbac."

De manera que la progressió geomètrica té una història antiga. Representa una seqüència numèrica amb un primer membre diferent de zero, i cada un de posterior, començant pel segon es determina multiplicant la fórmula de recurrència anterior en un nombre constant, no nul que es diu progressió denominador (en general designat mitjançant la lletra q).
Òbviament, es pot trobar dividint cada terme subsegüent de la seqüència a l'anterior, és a dir, z 2: z 1 = ... = zn: zn-1 = .... En conseqüència, durant la major progressió de treball (Zn) suficient que es coneix el valor del primer terme del denominador e i 1 q.

Per exemple, sigui z = 1 7, q = - 4 (q <0), llavors la següent progressió geomètrica es obté 7 - 28, 112 - 448, .... Com es pot veure, la seqüència resultant no és monòtona.

Recordem que una seqüència arbitrària de monòtona (augment / disminució) quan un dels seus membres segueixen més / menys que l'anterior. Per exemple, la seqüència de 2, 5, 9, ..., i -10, -100, -1000, ... - Monòton, el segon - una progressió geomètrica decreixent.

En el cas en què q = 1, tots els membres es troben per ser, i es diu la progressió constant.

La seqüència va ser la progressió d'aquest tipus, ha de satisfer la següent condició necessària i suficient, a saber: a partir de la segona, cadascun dels seus membres ha de ser la mitjana geomètrica dels membres veïns.

Aquesta propietat permet en determinades troballa de dos adjacents progressió arbitrària termini.

n-èsim terme exponencial trobar fàcilment per la fórmula: Zn = z 1 * q ^ (n-1), z sabent primer membre 1 i el denominador q.

Atès que el nombre de seqüència té una suma, a continuació, uns simples càlculs donar-nos una fórmula per calcular la suma de la primera progressió dels membres, a saber:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Substitució, en la fórmula seu valor expressió zn z 1 * q ^ (n-1) per obtenir una segona fórmula de la suma de la progressió: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

És digne d'atenció el següent dada interessant: la tauleta d'argila trobat en les excavacions de l'antiga Babilònia, el qual es refereix a la VI. AC, conté de manera notable la suma 1 + 2 + ... + 22 + 29 igual a 2 elevat a menys de potència desè 1. L'explicació d'aquest fenomen encara no ha estat trobat.

Observem una de les propietats de la progressió geomètrica - un treball constant dels seus membres, espaiades a igual distància dels extrems de la seqüència.

De particular importància des d'un punt de vista científic, una cosa tal com una progressió geomètrica infinita i el càlcul del seu import. Suposant que (in) - una progressió geomètrica amb denominador q, que satisfà la condició | q | <1, la seva quantitat es refereix al límit cap al qual ja sabem la suma dels seus primers membres, amb l'augment sense límits de n, a continuació, tenen en ell tendint a infinit.

Troba aquesta quantitat com a resultat de l'ús de la fórmula:

S n = i 1 / (1- q).

I, com l'experiència ha demostrat, per l'aparent simplicitat d'aquesta progressió s'amaga un enorme potencial d'aplicació. Per exemple, si es construeix una seqüència de quadrats d'acord amb el següent algoritme, que connecta els punts mitjans de l'anterior, a continuació, que formen una progressió geomètrica infinita quadrada que té un denominador mitjà. La mateixa forma progressió i àrea de triangles, obtinguts en cada etapa de la construcció, i la seva suma és igual a l'àrea del quadrat original.